«Средняя линия трапеции» - Средняя линия трапеции. A. MN – средняя линия трапеции ABCD. В треугольнике можно построить … средние линии. Средняя линия треугольника обладает свойством … MN = ? AB. Определение средней линии трапеции. Теорема о средней линии трапеции. D. Продолжите предложение: MN || AB.
«Уравнение эллипса» - Авторы: Гололобова О. 9 класс Негрова О. 9 класс Долгова К. 9 класс. Определение эллипса. Как свойства эллипса связаны со свойствами других «замечательных» кривых? 2. Вывели каноническое уравнение эллипса. Ход исследования. Результаты исследования: 4. Определить основные параметры эллипса: Цель: Исследование основных параметров эллипса. 3. Построили эллипс.
«Теорема Фалеса» - Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца по небесной сфере. Теорема Фалеса. Именем Фалеса названа геометрическая теорема. Проведем через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3. Астрономия. Геометрия. По свойству параллелограмма А1А2=FВ2, А2А3=В2Е. Милетский материалист. И так как А1А2=А2А3, то FВ2=В2Е. Фалес широко известен как геометр.
«Задачи об окружности и круге» - 2. Ответ: S=25? см2; С=10? см. Решение задач. 1. Длина окружности и площадь круга.
«Правильные многоугольники геометрия» - Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, причем только одну. Выведем формулу для вычисления угла аn правильного n-угольника. Возьмем любые три вершины многоугольника A1A2...An, например A1, A2, А3. Докажем теперь единственность такой окружности. Центр правильного многоугольника. Теорема о центре правильного многоугольника. Единственность такой окружности вытекает из единственности окружности, описанной около треугольника.
«Движение геометрия 9 класс» - Осевая. Осевая симметрия. Центральная и Осевая симметрия. Теорема. Виды движений. Поворот. Наложение. Любое движение является наложением. Осевая симметрия Центральная симметрия Параллельный перенос Поворот. Параллельный перенос. Движения. Центральная симметрия. Понятие движения. Геометрия 9 класс. Центральная. При движении отрезок отображается на отрезок.
Отображение плоскости на себя
Определение 1
Отображение плоскости на себя - это такое соответствие каждой точке плоскости какой-либо точки этой же плоскости, при котором каждая точка плоскость будет сопоставленной для какой-либо точки.
Примерами отображения плоскости на себя могут являться осевая симметрия (рис. 1,а) и центральная симметрия (рис. 1,б).
Рисунок 1. а) осевая симметрия; б) центральная симметрия
Понятие движения
Введем теперь определение движения.
Определение 2
Движением плоскости называется такое отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния (рис. 2).
Рисунок 2. Пример движения
Теоремы, связанные с понятием движения
Доказательство.
Пусть нам дан отрезок $MN$. Пусть при заданном движении плоскости точка $M$ отображается на точку $M_1$ этой плоскости, а точка $N$ отображается на точку $N_1$ этой плоскости. Возьмем произвольную точку $P$ отрезка $MN$. Пусть она отображается в точку $\ P_1$ этой плоскости (рис. 3).
Рисунок 3. Отображение отрезка на отрезок при движении
Так как точка $P$ принадлежит отрезку $MN$, то выполняется равенство
Так как, по определению движения, расстояния сохраняются, то
Следовательно
Значит, точка $P_1$ лежит на отрезке $M_1N_1$. В силу произвольности выбора точки $P_1$ получаем, что отрезок $MN$ при движении отобразится на отрезок $M_1N_1$. Равенство же этих отрезков сразу вытекает из определения движения.
Теорема доказана.
Теорема 2
При движении треугольник отображается на равный треугольник.
Доказательство.
Пусть нам дан треугольник $ABC$. По теореме 1, отрезок $AB$ переходит в отрезок $A_1B_1$, отрезок $AC$ переходит в отрезок $A_1C_1$, отрезок $BC$ переходит в отрезок $B_1C_1$, причем ${AB=A}_1B_1$, ${AC=A}_1C_1$, ${BC=B}_1C_1$. Следовательно, по III признаку равенства треугольников, треугольник $ABC$ переходит в равный ему треугольник $A_1B_1C_1$.
Теорема доказана.
Аналогично можно доказать, что луч отображается на луч, угол отображается на равный ему угол .
Для формулирования следующей теоремы вначале ведем следующее определение.
Определение 3
Наложением называется такое движение плоскости, которое обладает следующими аксиомами:
- Если при движении совпадают концы двух отрезков, то совпадают и сами отрезки.
- От начала любого луча можно отложить отрезок, равный данному отрезку и притом только один.
- В любую полуплоскость от любого луча можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, причем только один.
- Любая фигура является равной самой себе.
- Если фигура 1 равна фигуре 2, то и фигура 2 равна фигуре 1.
- Если фигура 1 равна фигуре 2, а фигура 2 равна фигуре 3, то фигура 1 равна фигуре 3.
Теорема 3
Любое движение является наложением.
Доказательство.
Рассмотрим движение $g$ треугольника $ABC$. По теореме 2, при движении $g$ треугольник $ABC$ переход в равный ему треугольник $A_1B_1C_1$. По определению равных треугольников получаем, что существует наложение $f$, отображающее точки $A,B\ и\ C$ на точки $A_1,B_1\ и\ C_1$, соответственно. Докажем, что $g$ совпадает с $f$.
Предположим противное, что $g$ не совпадает с $f$. Тогда существует по крайней мере одна точка $M$, которая при движении $g$ переходит в точку $M_1$, а при наложении $f$ - в точку $M_2$. Так как, при $f$ и $g$ сохраняются расстояния, то имеем
То есть точка $A_1$ равноудалена от точек $M_1$ и $M_2$. Аналогично получим, что точки $B_1\ и\ C_1$ равноудалены от точек $M_1$ и $M_2$. Значит точки $A_1,B_1\ и\ C_1$ лежат на прямой, перпендикулярной к отрезку $M_1M_2$ и проходящей через его центр. Это не возможно, так как точки $A_1,B_1\ и\ C_1$ не лежат на одной прямой. Следовательно, движение $g$ совпадает с наложением $f$.
Теорема доказана.
Пример задачи на понятие движения
Пример 1
Доказать, что при движении угол отображается на равный ему угол.
Доказательство.
Пусть нам дан угол $AOB$. Пусть при заданном движении точки $A,\ O\ и\ B$ отображаются на точки $A_1,\ O_1\ и\ B_1$. По теореме 2 получаем, что треугольник $AOB$ отображается на треугольник $A_1O_1B_1$, причем эти треугольники равны между собой. Следовательно, $\angle AOB=\angle A_1O_1B_1$.
Свойство 1 (сохранение прямолинейности). При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения) .
Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок.
Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч.
Свойство 4. При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом плоскости - плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости - полуплоскость.
Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом пространства - все пространство, образом полупространства - полупространство.
Свойство 6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.
Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X" и Y", что XX" = YY".
Основное свойство переноса:
Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X"Y" = XY.
Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос.
Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос.
Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A" переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA", и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX" = AA" для всех точек Х.
Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О.
Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X" и Y", что X"Y" = -XY.
Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия.
Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А", то центр симметрии это середина отрезка AA".
Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией) .
Точки A и A" называются симметричными относительно плоскости, если отрезок AA" перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости (считается симметричной самой себе относительно этой плоскости.
Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением.
Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением.
Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему.
Фигура называется фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой совмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения: шар, прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус.
Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180(. При повороте вокруг прямой a на 180(каждая точка A переходит в такую точку A", что прямая a перпендикулярна отрезку AA" и пересекает его в середине. Про такие точки A и A" говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180(вокруг прямой является называется осевой симметрией в пространстве.
